Freiheitsgrade verstehen und falsche Werte im Ergebnisteil erkennen
In deinem Ergebnisteil steht t(98) = 2.31, deine Stichprobe umfasst aber nur 80 Personen. Solche Unstimmigkeiten fallen Gutachterinnen und Gutachtern schnell auf, weil die Freiheitsgrade verraten, wie groß die Stichprobe war und welches Verfahren gerechnet wurde. Neben den 12 häufigsten APA-7-Fehlern im Ergebnisteil lohnt es sich deshalb, die Freiheitsgrade gezielt zu prüfen.
Was Freiheitsgrade sind
Freiheitsgrade geben an, wie viele Werte bei der Berechnung einer Statistik frei variieren können. Ein einfaches Beispiel macht das greifbar. Kennst du den Mittelwert von fünf Zahlen und vier davon, ist die fünfte festgelegt. Bei der Schätzung der Varianz aus fünf Werten bleiben deshalb vier Freiheitsgrade übrig.
Für die Praxis ist vor allem eine Folge wichtig. Die Freiheitsgrade bestimmen die Form der Prüfverteilung und damit den p-Wert. Gleichzeitig lassen sie sich fast immer direkt aus der Stichprobengröße und der Zahl der Gruppen oder Prädiktoren ableiten. Damit sind sie eine einfache Kontrolle, ob ein berichtetes Ergebnis in sich stimmig ist.
Die wichtigsten Formeln im Überblick
Die Tabelle 1 zeigt, wie sich die Freiheitsgrade bei den häufigsten Verfahren berechnen:
Verfahren | Freiheitsgrade | Beispiel |
t-Test für unabhängige Stichproben | n₁ + n₂ − 2 | 40 + 40 Personen ergeben df = 78 |
t-Test für abhängige Stichproben | n − 1 | 30 Personen ergeben df = 29 |
Welch-Test | nach Welch-Satterthwaite korrigiert, meist mit Nachkommastellen | etwa t(71.36) statt t(78) |
Korrelation nach Pearson | N − 2 | 50 Personen ergeben df = 48 |
Einfaktorielle ANOVA | J − 1 und N − J bei J Gruppen | 3 Gruppen mit 90 Personen ergeben F(2, 87) |
Multiple Regression | k und N − k − 1 bei k Prädiktoren | 3 Prädiktoren mit 100 Personen ergeben F(3, 96) |
Chi-Quadrat-Test | (Zeilen − 1) · (Spalten − 1) | eine 2 × 3-Tabelle ergibt χ²(2) |
Ein Rechenbeispiel zur Plausibilitätsprüfung
So könnte das mit erfundenen Werten aussehen. In einer Studie mit 50 Personen wird der Zusammenhang zwischen Lernzeit und Prüfungsleistung berechnet. Die Korrelation beträgt r = .32. Mit N − 2 = 48 Freiheitsgraden ergibt sich ein p-Wert von .023. Stünde im Text stattdessen r(50) = .32, wären die Freiheitsgrade mit der Stichprobengröße verwechselt worden.
Ähnlich lässt sich eine ANOVA prüfen. Werden drei Gruppen mit insgesamt 90 Personen verglichen, muss das Ergebnis die Form F(2, 87) haben. Steht dort F(2, 89) oder F(3, 87), stimmt entweder die Stichprobe nicht oder es wurde ein anderes Modell gerechnet als beschrieben.
Weichen die Freiheitsgrade ab, kann das auch einen harmlosen Grund haben, etwa fehlende Werte. Fallen bei einer Analyse fünf Personen wegen unvollständiger Daten heraus, sinken die Freiheitsgrade entsprechend. Das ist kein Fehler, sollte aber im Text erklärt werden. Wie du mit Lücken im Datensatz umgehst, beschreibt der Beitrag Fehlende Werte und Ausreißer.
Du willst sichergehen, dass alle Kennwerte in deinem Ergebnisteil zueinander passen? Im statistischen Lektorat prüfen wir Freiheitsgrade, Testwerte und p-Werte auf Stimmigkeit und erklären dir jede Korrektur.
Typische Fehler bei Freiheitsgraden
Die folgenden Fehler lassen sich mit den Formeln oben schnell aufspüren:
Stichprobengröße statt Freiheitsgrade. Bei Korrelation und t-Test wird statt N − 2 oder n − 1 die Zahl der Personen eingetragen.
Welch-Test mit ganzzahligen Werten. Wer den Welch-Test berichtet, übernimmt die korrigierten Freiheitsgrade aus der Zeile für nicht gleiche Varianzen. Ganzzahlige Werte deuten darauf hin, dass versehentlich die Zeile des klassischen t-Tests übernommen wurde.
Nur ein Freiheitsgrad beim F-Test. Ein F-Wert braucht immer zwei Angaben, die Freiheitsgrade des Effekts und die des Fehlers.
Fehlendes Komma oder Leerzeichen. Die beiden Freiheitsgrade des F-Tests werden durch ein Komma und ein Leerzeichen getrennt, also F(2, 87). Im statistischen Lektorat begegnet uns besonders häufig, dass eines davon fehlt oder ein Punkt statt des Kommas steht. F(2.87) liest sich dann wie ein einzelner korrigierter Freiheitsgrad.
Unkorrigierte Werte bei Messwiederholung. Bei einer Greenhouse-Geisser-Korrektur werden auch die Freiheitsgrade korrigiert und meist mit Nachkommastellen berichtet. Mehr dazu steht im Beitrag zur Mixed ANOVA in SPSS.
Unerklärte Ausschlüsse. Werden Fälle ausgeschlossen, ohne dass der Text das erwähnt, wirken die Freiheitsgrade widersprüchlich.
Freiheitsgrade nach APA 7 berichten
Die Freiheitsgrade stehen in Klammern direkt hinter dem Symbol der Teststatistik. Beim F-Test werden beide Werte durch ein Komma und ein Leerzeichen getrennt. Ganzzahlige Freiheitsgrade schreibst du ohne Nachkommastellen, korrigierte mit zwei. Ein vollständiger Ergebnissatz für die Korrelation aus dem Beispiel könnte so lauten:
Lernzeit und Prüfungsleistung korrelierten positiv miteinander, r(48) = .32, p = .023.
Wie du Korrelationen ausführlicher berichtest, zeigt der Beitrag Korrelation nach APA 7 berichten. Für den t-Test mit abhängigen Stichproben findest du die passende Form im Artikel t-Test für abhängige Stichproben nach APA 7 berichten.
Häufige Fragen zu Freiheitsgraden
Warum hat mein Welch-Test Freiheitsgrade mit Nachkommastellen?
Der Welch-Test schätzt die Freiheitsgrade aus den Varianzen und Gruppengrößen. Dabei entstehen fast immer Dezimalzahlen. Du übernimmst sie mit zwei Nachkommastellen in deinen Text.
Muss ich beim Chi-Quadrat-Test auch die Stichprobengröße angeben?
Die Stichprobengröße gehört in den Text oder in die Tabelle, aber nicht in die Klammer hinter χ². Dort stehen nur die Freiheitsgrade, also etwa χ²(2) = 9.84.
Wo finde ich die Freiheitsgrade im SPSS-Output?
SPSS weist sie in den meisten Tabellen in einer eigenen Spalte mit der Überschrift df aus. Bei der ANOVA findest du die Freiheitsgrade des Effekts und des Fehlers in getrennten Zeilen.
Was kostet es, meinen Ergebnisteil prüfen zu lassen?
Der Aufwand hängt vom Umfang deines Ergebnisteils ab, etwa von der Zahl der Tests und Tabellen. Einen Überblick gibt der Beitrag Was kostet eine statistische Auswertung?
Kann ich lernen, Freiheitsgrade selbst nachzurechnen?
Ja, mit den Formeln aus der Tabelle oben gelingt das bei den meisten Verfahren in wenigen Minuten. Wer das Prinzip an den eigenen Daten gemeinsam durchgehen möchte, kann dafür auch ein 1:1-Coaching per Videocall nutzen.
Ergebnisteil auf Stimmigkeit prüfen lassen Wir prüfen im statistischen Lektorat, ob Freiheitsgrade, Testwerte und Stichprobe zusammenpassen. Im Abschlussgespräch erklären wir dir jede Änderung, damit du deine Ergebnisse sicher vertreten kannst. Mehr dazu findest du bei der Statistik-Hilfe für Studierende und Promovierende.
