Normalverteilung verletzt? So entscheidest du, wie du weiterrechnest
Du hast deine Daten in SPSS, R oder JASP geprüft und der Shapiro-Wilk-Test zeigt p < .001. Die Normalverteilung ist verletzt und plötzlich wirkt die ganze geplante Auswertung fraglich.
Die kurze Antwort lautet so. Eine verletzte Normalverteilung ist selten das Ende einer Auswertung. Oft musst du gar nichts ändern, manchmal reicht ein robusteres Verfahren und nur in wenigen Fällen ist ein anderer Test die bessere Wahl. Entscheidend ist, dass du deine Wahl begründest, bevor du die Ergebnisse kennst. Ähnlich ist es beim signifikanten Levene-Test.
Was überhaupt normalverteilt sein muss
Hier liegt der erste Denkfehler. Viele Verfahren verlangen nicht, dass deine Rohdaten insgesamt normalverteilt sind.
Beim t-Test für unabhängige Stichproben geht es um die Verteilung innerhalb jeder Gruppe, nicht über alle Personen hinweg.
Bei der ANOVA und bei der Regression geht es um die Residuen, also um die Abweichungen der Werte vom Modell.
Beim t-Test für abhängige Stichproben geht es um die Differenzen zwischen den beiden Messzeitpunkten.
Wer die Rohdaten einer Regression auf Normalverteilung prüft, prüft also das Falsche. Welche Voraussetzungen bei der Regression sonst noch zählen, steht im Beitrag Voraussetzungen der linearen Regression in SPSS prüfen. Für den t-Test gibt es die Checkliste zu den Voraussetzungen.
Warum der Test so oft anschlägt
Der Shapiro-Wilk-Test prüft die Nullhypothese, dass deine Werte aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Bei großen Stichproben wird schon eine kleine, praktisch harmlose Abweichung signifikant. Bei kleinen Stichproben übersieht der Test dagegen auch deutliche Abweichungen.
Ausgerechnet dort, wo die Normalverteilung wichtig ist, also bei kleinen Gruppen, ist der Test schwach. Dort, wo sie wegen des zentralen Grenzwertsatzes weniger wichtig ist, also bei großen Gruppen, schlägt er ständig an. Ein signifikanter Shapiro-Wilk-Test allein ist deshalb kein Grund, das Verfahren zu wechseln. Schau dir zusätzlich das Q-Q-Diagramm, das Histogramm sowie Schiefe und Kurtosis an. Liegen die Punkte im Q-Q-Diagramm grob auf der Linie, sind Schiefe und Kurtosis nicht auffällig groß und gibt es keine extremen Ausreißer, musst du oft gar nichts ändern.
Fünf Wege und wann sie passen
1. Beim geplanten Verfahren bleiben
t-Test, ANOVA und Regression reagieren auf leichte bis mittlere Abweichungen von der Normalverteilung wenig empfindlich, wenn die Gruppen nicht zu klein sind. Als grobe Orientierung gelten etwa 30 Personen je Gruppe. Der Preis ist, dass du diese Entscheidung im Methodenteil begründen musst. Bei starker Schiefe, kleinen oder sehr ungleichen Gruppen ist dieser Weg nicht mehr gut vertretbar.
2. Ein robusteres Verfahren wählen
Robuste Verfahren behalten die Fragestellung bei, rechnen aber mit weniger strengen Annahmen. Dazu gehören der Welch-Test, wenn zusätzlich die Varianzen ungleich sind, robuste Standardfehler in der Regression oder Tests mit getrimmten Mittelwerten. Der Preis ist, dass nicht jede Software jedes Verfahren über das Menü anbietet und du das Verfahren erklären musst. Mehr zum Welch-Test steht im Beitrag Welch-Test in SPSS.
3. Die Daten transformieren
Bei rechtsschiefen Daten mit positiven Werten, etwa Reaktionszeiten oder Einkommen, hilft oft eine Logarithmus-Transformation. Der Preis ist die Interpretation. Du vergleichst danach nicht mehr die ursprünglichen Mittelwerte, sondern Werte auf einer anderen Skala. Das muss zur Hypothese passen und im Text klar benannt werden.
4. Auf ein Rangverfahren ausweichen
Der Mann-Whitney-U-Test, der Wilcoxon-Test und der Kruskal-Wallis-Test arbeiten mit Rangplätzen statt mit den Werten selbst. Der Preis ist, dass sie eine andere Frage beantworten. Sie prüfen, ob die Werte einer Gruppe tendenziell höher liegen, nicht ob sich die Mittelwerte unterscheiden. Wer so rechnet, sollte Hypothese und Bericht entsprechend formulieren.
5. Bootstrap
Beim Bootstrap werden aus deinen Daten viele Stichproben mit Zurücklegen gezogen. Daraus entsteht ein Konfidenzintervall, das ohne die Annahme der Normalverteilung auskommt. In SPSS, R und JASP lässt sich der Bootstrap bei vielen Verfahren direkt anfordern. Der Preis ist, dass du die Zahl der Ziehungen und die Art des Intervalls berichten musst. Bei sehr kleinen Stichproben hilft auch der Bootstrap nur begrenzt.
Die Tabelle 1 stellt die fünf Wege nebeneinander.
Weg | Passt, wenn | Was du berichten musst |
Beim Verfahren bleiben | Gruppen ab etwa 30 Personen, leichte Abweichung | Begründung mit Gruppengröße und Diagrammen |
Robusteres Verfahren | Zusätzlich ungleiche Varianzen oder Ausreißer | Name und Grund des Verfahrens |
Transformation | Rechtsschiefe Daten mit positiven Werten | Neue Skala und angepasste Interpretation |
Rangverfahren | Kleine Gruppen, ordinale Daten, starke Schiefe | Angepasste Hypothese und Mediane |
Bootstrap | Mittlere bis große Stichproben | Zahl der Ziehungen und Art des Intervalls |
Ein Beispiel
Eine Masterarbeit vergleicht die Bearbeitungszeit einer Aufgabe zwischen zwei Gruppen mit 42 und 39 Personen. Die Zeiten sind in beiden Gruppen rechtsschief, einige Personen brauchen deutlich länger als der Rest. Der Shapiro-Wilk-Test ist in beiden Gruppen signifikant (p < .001), das Q-Q-Diagramm zeigt eine Abweichung am oberen Ende. Die Varianzen unterscheiden sich ebenfalls.
Die Gruppen sind groß genug, um beim Mittelwertvergleich zu bleiben. Wegen der ungleichen Varianzen fällt die Wahl auf den Welch-Test. Im statistischen Vorgehen könnte das so aussehen.
Die Bearbeitungszeiten waren in beiden Gruppen rechtsschief (Shapiro-Wilk-Test jeweils p < .001, Q-Q-Diagramme). Da beide Gruppen mehr als 30 Personen umfassten und die Varianzen ungleich waren, wurde der Unterschied mit dem Welch-Test geprüft.
Der Ergebnissatz dazu könnte so lauten.
Die Interventionsgruppe brauchte im Mittel länger als die Kontrollgruppe, t(71.4) = 2.48, p = .015, d = 0.55.
Welcher dieser Wege für deine Arbeit passt, hängt von Design, Stichprobengröße und Fragestellung ab. Eine Transformation kann in einer Arbeit richtig sein und in der nächsten die Hypothese verändern. Diese Entscheidung treffen wir gemeinsam an deinem Datensatz und formulieren die Begründung für den Methodenteil. Entscheidung am eigenen Datensatz besprechen.
Drei Fehler, die Gutachter bemerken
Das Verfahren erst nach dem Blick auf die p-Werte wechseln. Wer erst den t-Test rechnet und dann zum Rangverfahren wechselt, weil dort p < .05 herauskommt, verzerrt das Fehlerniveau. Lege den Weg fest, bevor du die Hypothesen prüfst.
Die falschen Werte prüfen. Die Normalverteilung der gesamten Stichprobe sagt beim Gruppenvergleich wenig, bei der Regression zählen die Residuen.
Das Verfahren wechseln, aber die Hypothese behalten. Wer auf den Mann-Whitney-U-Test ausweicht, sollte nicht weiter von Mittelwertunterschieden sprechen. Bericht und Hypothese müssen zum Verfahren passen.
Noch offene Fragen zur Normalverteilung
Shapiro-Wilk oder Kolmogorov-Smirnov, welcher Test ist besser?
Der Shapiro-Wilk-Test gilt bei kleinen und mittleren Stichproben als der trennschärfere Test. Viele Arbeiten berichten trotzdem den Kolmogorov-Smirnov-Test mit Lilliefors-Korrektur. Beide haben dasselbe Problem mit großen Stichproben, deshalb gehören die Diagramme immer dazu.
Muss ich den Shapiro-Wilk-Test im Ergebnisteil berichten?
Wenn er Grundlage deiner Entscheidung war, gehört er kurz in den Methodenteil oder vor das Ergebnis. Ein Satz mit Test, p-Wert und Hinweis auf das Q-Q-Diagramm genügt.
Was ist bei sehr kleinen Gruppen?
Bei unter 15 Personen je Gruppe ist jede Prüfung unsicher. Hier lohnt sich die Frage, ob ein Rangverfahren oder ein exakter Test von Anfang an die bessere Wahl ist. Wie du die Fallzahl vorab planst, zeigt der Beitrag G*Power: Stichprobengröße berechnen.
Mit welchem Aufwand muss ich rechnen?
Das hängt vor allem davon ab, wie viele Hypothesen du prüfst und wie viele Voraussetzungen verletzt sind. Eine Orientierung gibt der Beitrag Was kostet eine statistische Auswertung. Den Aufwand für deine Arbeit nennen wir dir vorab.
Was du von uns bekommst Du schickst uns deinen Datensatz und deine Hypothesen. Wir prüfen die Voraussetzungen, wählen den passenden Weg und liefern dir die Begründung für den Methodenteil gleich mit. Wie das abläuft, steht auf der Seite zur Statistik-Hilfe für Studierende und Promovierende.
